abc-analiz

Получить бесплатно файл для проведения ABC-анализа

(версия 3.0)

Ваш e-mail: *
Ваше имя: *
Подписчиков:

 

Поиск аномальных значений в Excel

Получить бесплатно файл Excel для обнаружения аномальных значений

(версия 2.0)

 

Ваш e-mail: *
Ваше имя: *

 

Главная Теория и практика Средние величины Средняя арифметическая взвешенная

Средняя арифметическая взвешенная

Приветствую новичков и профессионалов в области статистического анализа данных.

Продолжаем изучение темы средних величин. Сегодня я расскажу о таком показателе, как средняя арифметическая взвешенная, а также о том, как им правильно пользоваться. Напомню, что со средней арифметической простой мы уже познакомились. Также рассмотрели, как маленькая выборка и аномальные значения могут испортить качество средней величины и как с этим следует бороться.

Средняя арифметическая взвешенная – это один из самых распространенных статистических показателей, который от средней арифметической простой отличается лишь способом расчета, но не сутью и интерпретацией.

Впервые со средней арифметической взвешенной, сам того не зная, я столкнулся еще в 9 классе. Дело было так. Решал я как-то задачу по физике примерно такого содержания. Между пунктами А и Б расстояние S, которые автомобиль проехал со скоростью 50 км/ч. В обратную сторону этот автомобиль поддал газку и промчался уже со скоростью 100 км/ч. Картинка по условию задачи будет примерно такая.

 

Условие задачи о скорости автомобиля

 

Сам рисовал, если что.

Условие задачи крайне простое. Вопрос: какова была средняя скорость движения автомобиля из пункта А в пункт Б и обратно? Даю время подумать читателю.

Подавляющие большинство людей, которым предлагается решить эту задачку, довольно быстро сообщают ответ – 75 км/ч, что неверно. Средняя скорость – это все пройденное расстояние деленное на все потраченное время (согласно учебнику по физике). В нашем случае все расстояние – это S + S = 2*S (туда и обратно), все время тоже складывается из времени из А в Б и из Б в А. Зная скорость и расстояние, время найти элементарно. Исходная формула для нахождения средней скорости будет иметь вид:

 

Исходная формула для расчета средней скорости

 

То есть все расстояние, на все время.

Теперь преобразуем формулу до удобного для расчета вида.

 

Преобразование формулы для расчета средней скорости

 

Подставив наши значения, получим

 

Расчет средней скорости

 

Правильный ответ: средняя скорость автомобиля при движении в обе стороны составила 66,7 км/ч.

Согласимся, между 75 и 66,7 есть некоторая разница. Вначале казалось, что все элементарно и можно посчитать в уме, а тут на тебе – облом.

Оно и есть все элементарно, только нужно понимать, что из чего мы пытаемся найти. В наличии имеются две скорости, из которых нужно посчитать среднюю. Определение средней скорости я уже писал – все расстояние на все время, а это, как мы убедились, совсем то же самое, что сложение двух скоростей и деление их на два.

Дело в том, что скорость – это расчетный показатель, который нельзя складывать, как расстояние или время. Ну, сами подумайте, как можно сложить километры в час? Километры можно, часы можно, а километры в час нельзя. Это противоречит здравому смыслу (если мы не складываем векторы). Также нельзя складывать рентабельности, производительности, эффективности и другие расчетные показатели, так как в их суммировании нет логического смысла.

Чтобы разобраться в ситуации, необходимо вспомнить, что такое средняя величина с точки зрения логики и математики. Это обобщающая характеристика показателя, которая получается следующим образом: суммарный эффект (суммарное значение) показателя соотносится с размером совокупности данных. Этот принцип универсальный. Если мы имеем дело с корзиной яблок, то все просто. Суммарный эффект – это масса корзинки с яблоками, размер совокупности данных – количество яблок. Средняя масса яблока – одно делится на другое. Это знает даже школьник. Но есть показатели, когда при их сложении суммарный эффект не получается. К примеру, суммарная прибыль двух предприятий – это не сумма их рентабельностей. Суммарная стоимость проданных товаров – это не сумма их цен. Суммарное расстояние – это, соответственно, не сумма скоростей. В общем, для корректного расчета средней величины нужно вначале найти суммарное значение показателя и затем соотнести с размером анализируемой выборки. Это простое правило распространяется на расчет абсолютно любого показателя средней арифметической. Другое дело, что для нахождения суммирующего эффекта имеющиеся в наличии показатели не всегда можно просто сложить. Например, чтобы из рентабельностей получить общую прибыль, их предварительно нужно умножить на сумму затрат, чтобы из цен получить общую стоимость, их нужно умножить на физическое количество товаров, чтобы из скоростей найти суммарное расстояние, их нужно умножить на время. Для нахождения средних величин полученные суммы нужно разделить соответственно на сумму затрат, общее физическое количество товаров и общее время. Другими словами, имеющиеся показатели вначале нужно умножить на определенные веса, полученные произведения сложить и затем разделить на сумму этих весов.

Средняя величина, рассчитанная подобным образом, называется средней арифметической взвешенной. Суть средней взвешенной абсолютно такая же, как и у средней простой. Различие в методологи расчета обусловлено только видом исходных данных. Таким образом, средняя взвешенная и простая суть одно и то же – обобщающая характеристика показателя.

Среднюю взвешенную применяют не только к расчетным данным, которые невозможно сложить, но и к сгруппированным данным. Логика расчета остается той же: считается суммарный показатель и делится на общее количество значений в совокупности (сумму весов). В качестве веса используется количество значений в каждой группе. Надеюсь, с примерами все понятно, поэтому перейдем к формальной части и конкретным расчетам.

Формула средней арифметической взвешенной имеет вид:

 

Формула средней арифметической взвешенной

где x – анализируемый показатель; f – вес.

Примечание. Расчет средней арифметической взвешенной в Excel.

 

Как я и говорил, в числителе рассчитывается суммарное значение показателя. То есть каждое значение умножается на так называемый вес и затем все складывается. Полученная сумма делится на сумму весов.

Приведу пару примеров. Имеются сгруппированные данные о ценах (x, руб.) и продажах (f, шт.) трех групп товаров. Каждая группа – это товары с определенной ценой и количеством. Данные в таблице ниже.

 

Исходные данные для примера расчета средней арифметической взвешенной

 

Требуется определить среднюю цену проданного товара.

Как несложно догадаться, средняя цена – это стоимость всех проданных товаров, разделенная на их физическое количество. У нас нет общей стоимости, но есть цены и количества. Поэтому для расчета следует использовать формулу средней арифметической взвешенной, где в качестве анализируемого показателя x будет цена, а в качестве веса f – физическое количество проданного товара. Расчет получится следующим:

 

Расчет средней арифметической взвешенной

Средняя цена проданной единицы товара составит 65 рублей (а не 73 руб., как многие посчитали бы, если сложить все цены и разделить на три).

Рассмотрим другой пример, когда требуется найти среднее значение из расчетных показателей. Не будем далеко ходить, и снова обратимся к средней скорости. Данные те же, только в качестве x будет скорость, в качестве f – время езды с этой скоростью. Чтобы было совсем понятно, распишем условие в литературном стиле. Автомобиль целых 3 часа ехал со скоростью 50 км/ч. Затем водитель решил ускориться, чтобы не опоздать к теще на блины и разогнался до 70 км/ч. Через 2 часа позвонила теща и водитель втопил педаль газа, разогнав свой "жигуль" до 100 км/ч. Так он проехал еще целый час. Нужно найти среднюю скорость движения на всем пути. Как мы знаем, вначале нужно найти все расстояние и разделить на все время движения. Расстояние по условию задачи отсутствует, но есть скорость и время. Снова используем среднюю арифметическую взвешенную.

Расчет и ответ тот же, что и в первом примере.

 

Расчет средней арифметической взвешенной

 

То есть средняя скорость составила 65 км/ч.

Иногда вес показателю может добавляться искусственно. К примеру, тестируются различные автомобили по нескольким параметрам (безопасность, комфорт и проч.). Для того, чтобы сравнивать различные автомобили между собой нужно получить обобщающую среднюю оценку. Но разные параметры имеют разную важность. Комфорт и безопасность может быть важнее расхода топлива или наличия «наворотов». В общем в этом случае каждому параметру присваивается некоторый вес, чтобы более важные характеристики в большей степени влияли на общую оценку, а менее важные, но все же имеющие значение, оказывали меньшее влияние. Расчет производится по той же формуле средней взвешенной.

Вот, кажется и все, что я хотел рассказать о средней арифметической взвешенной. Этот показатель используется достаточно часто, если статистический анализ проводить грамотно, по-научному.

В целом сложность средней арифметической взвешенной не намного отличается от средней арифметической простой. Просто добавляется лишнее действие (домножение каждого значения на своей вес). Других отличий нет. Однако многие специалисты считают данный показатель весьма специфическим и стараются подчеркнуть его значимость и особенность, заодно и свою осведомленность в области статанализа. Не будем их осуждать. Все приходит с опытом.

По этому поводу вспомнился один случай. Работал я как-то в одной фирме (будь она не ладна), где термин «средняя взвешенная» использовали только «продвинутые» специалисты, остальные не знали, что это такое вообще. Мне даже на собеседовании задали вопрос: что такое средняя взвешенная? Я, наверное, был первый кандидат, который правильно ответил на данный вопрос и меня сразу взяли на работу.

Итак, из данной статьи следует усвоить следующее.

  1. Средняя арифметическая взвешенная суть одно и то же, что и средняя арифметическая простая.
  2. При расчете средней взвешенной величины используются веса, которые в числителе формулы позволяют получить суммирующий показатель.
  3. В знаменателе формулы берется сумма весов.

На сегодня все. До новых встреч на страницах блога statanaliz.info.

Отнести науку статистического анализа данных в массы.

Комментарии  

 
0 #8 RE: Средняя арифметическая взвешеннаяAdministrator 16.11.2013 08:35
Цитирую inna:
По-моему средняя скорость в случае с автомобилями находится по формуле средней гармонической? У меня вышел такой же результат.

Можно, да.
Цитировать
 
 
+1 #7 скоростьinna 15.11.2013 21:34
По-моему средняя скорость в случае с автомобилями находится по формуле средней гармонической? У меня вышел такой же результат.
Цитировать
 
 
0 #6 RE: Средняя арифметическая взвешеннаяюлия 16.10.2013 06:35
Вовану - респект, как аномальному явлению))
Вам спачибо за логику, простоту и доступность, очень помогли))
Цитировать
 
 
0 #5 RE: Средняя арифметическая взвешеннаяAdministrator 02.10.2013 07:20
Цитирую Vovan:
:lol:
Полная лажа, проверял на примере с заданием из ЕГЭ, точно такой же рисунок, а ответ неверный вышел. Так что туфта это все.

Вован, если при таком же рисунке ответ не совпал с ЕГЭ, то ситуация в корне меняется. Осталось переписать школьные учебники.
Цитировать
 
 
0 #4 RE: Средняя арифметическая взвешеннаяVovan 01.10.2013 10:32
:lol:
Полная лажа, проверял на примере с заданием из ЕГЭ, точно такой же рисунок, а ответ неверный вышел. Так что туфта это все.
Цитировать
 
 
0 #3 RE: Средняя арифметическая взвешеннаяОльга 20.03.2013 07:13
спасибо огромное, доступно, примеры очень наглядные, все оказалось очень просто :P
Цитировать
 
 
0 #2 RE: Средняя арифметическая взвешеннаяАлександр 02.12.2012 08:36
На самом деле спасибо большое, все действительно логично и полезно.
Цитировать
 
 
0 #1 RE: Средняя арифметическая взвешеннаяильнур 09.10.2012 10:57
Спасибо огромное оч помогли :-) :-) :lol:
Цитировать
 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Подписка на обновления

 

Книги по статистике и анализу данных

biblioteka free 1

 

 

Ознакомиться с фондом и получить бесплатный доступ

 

Авторизация

Для добавления комментария авторизация НЕобязательна.



Поиск по сайту

Яндекс.Метрика Счетчик тИЦ и PR